Metropolis-Hastings 和 Gibbs sampling

      在科学研究中,如何生成服从某个概率分布的样本是一个重要的问题。 如果样本维度很低,只有一两维,我们可以用反切法、拒绝采样和重要性采样等方法。 但是对于高维样本,这些方法就不适用了。这时我们就要使用一些 “高档” 的算法,比如下面要介绍的 Metropolis-Hasting 算法和 Gibbs sampling 算法。

      Metropolis-Hasting 算法和 Gibbs sampling 算法是马尔科夫链蒙特卡洛(Markov Chain Mento Carlo, MCMC)方法。我们先介绍 MCMC 方法。

1. 马尔科夫蒙特卡洛方法

      MCMC 方法是用蒙特卡洛方法去体现马尔科夫链的方法。马尔科夫链是状态空间的转换关系,下一个状态只和当前的状态有关。比如下图就是一个马尔科夫链的示意图。

mc

图中转移关系可以用一个概率转换矩阵 p 表示,
\begin{eqnarray}
p = \begin{bmatrix}
0 &1 &0 \\
0&0.1 &0.9 \\
0.6 &0.4 &0
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}

如果当前状态分布为 \(u(x)\), 那么下一个矩阵的状态就是 \( u(x)p \), 再下一个就是\(u(x)p^2\),... 最后会收敛到一个平稳分布 \(\pi\)。这个平稳分布 \(\pi\) 只和概率转移矩阵 p 有关,而和初始状态分布 u 是什么没有关系。

      如何判断一个马尔科夫链是否能收敛到平稳分布,以及如何判断一个状态分布是不是一个马尔科夫链的平稳分布呢?我们有下面定理。

细致平衡条件: 已知各态历经的的马尔科夫链有概率转移矩阵 \(p\),以及已知状态分布 \(\pi\)。如果对于任意两个状态 i 和 j,下面公式成立,则马尔科夫链能够收敛到 \(\pi\)
\begin{eqnarray}
\pi(i) p(j|i) = \pi(j) p(i|j) \nonumber
\end{eqnarray}
这里的各态历经是指任意两个状态之间可以通过有限步到达。

怎么证明细致平衡条件呢?我也不知道啊。

      MCMC 方法的基本原理是利用细致平衡条件构建一个概率转移矩阵,使得目标概率就是概率转移矩阵的平稳分布。 Metropolis-Hasting 和 Gibbs sampling 算法本质上是构建概率转移矩阵的不同方法。

2. Metropolis-Hastings 算法

      Metropolis-Hastings 算法先提出一个可能不符合条件的概率转移矩阵 q, 然后再进行调整。比如我们提出的 q 是均匀概率,即从任意状态到任意状态的概率是相等的。显然在绝大部分情况下,q 的稳定概率不是目标概率 \(\pi\),即不满足细致平衡条件。
\begin{eqnarray}
\pi(i) q(j|i) \ne \pi(j)q(i|j) \nonumber
\end{eqnarray}

如何让这个不等式转变成等式呢?根据对称性,我们容易得到下面的等式。
\begin{eqnarray}
\label{mh}
\pi(i) q(j|i) \pi(j)q(i|j) = \pi(j)q(i|j) \pi(i)q(j|i)
\end{eqnarray}

这时整个概率转移矩阵满足细致平衡条件。从 i 状态转到 j 状态的概率是 \(q(j|i) \pi(j)q(i|j)\),实现这个转移概率的方式是 i 状态以 q(j|i) 概率跳转到 j 状态,然后以 \(\pi(j)q(i|j)\) 接受跳转 (拒绝跳转就退回 i 状态)。这样整个 Metropolis-Hasting 算法的框架就建立起来了。

      这个原始的 Metropoli-Hasting 算法的有一个小问题。 跳转接受概率 \(\pi(j)q(i|j)\)\(\pi(i)q(j|i)\) 的值很小,算法进行过程充斥着跳转拒绝。为了改进这点,Metropoli-Hasting 算法的方法是公式两边同时乘以一个系数,使得 \(\pi(j)q(i|j)\)\(\pi(i)q(j|i)\) 中大的一项 scale 到 1,得到下面的公式。

\begin{eqnarray}
\pi(i) q(j|i) \frac{\pi(j)q(i|j)}{\pi(i)q(j|i)} &=& \pi(j)q(i|j) \;\; when \;\; \pi(i)q(j|i) > \pi(j)q(i|j) \nonumber \\
or\nonumber \\
\pi(i) q(j|i) &=& \pi(j)q(i|j)\frac{\pi(i)q(j|i)}{\pi(j)q(i|j)} \;\; when \;\; \pi(i)q(j|i) \le \pi(j)q(i|j) \nonumber \\
\end{eqnarray}

这个公式可以进一步简化为下面的公式
\begin{eqnarray}
\pi(i) q(j|i) a(j|i) &=& \pi(j)q(i|j) a(i|j) \nonumber \\
a(j|i) &=& min\{\frac{\pi(j)q(i|j)}{\pi(i)q(j|i)},1\} \nonumber \\
a(i|j) &=& min\{\frac{\pi(i)q(j|i)}{\pi(j)q(i|j)},1\}
\end{eqnarray}

      根据上面的推导,我们容易得到 Metropolis-Hasting 算法的流程。

metropolist-hasting

3. Gibbs sampling 算法

      Gibbs sampling 算法是 Metropolis-Hasting 算法的一个特例。很鸡贼的一个特例。m 维的一个样本跳转到另一个样本的过程,可以拆解为 m 个子过程,每一个子过程对应一个维度。这时概率转移矩阵是 m 个子概率转移矩阵之积,即 \(p = \prod_{i=k}^{m} p_k \)

其中 \(p_k\) 表示第 k 维的变化概率。在 \(p_k\) 中,两个状态之间只有 k 维不同,其跳转概率如下所示;不然为 0。

\begin{eqnarray}
p_k(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2}|\pmb{x}_{\dashv k, k=v_1}) = \frac{\pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2})}{\sum_{v}\pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v})} \nonumber
\end{eqnarray}

其中 \(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2}\) 表示样本第 k 维数据为 \(v_2\),其它维度固定。这时候我们发现如下公式

\begin{eqnarray}
&& \pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_1}) p(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2}|\pmb{x}_{\dashv k, k=v_1}) \nonumber \\
&=& \pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_1}) \frac{\pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2})}{\sum_{v}\pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v})} \nonumber \\
&=& \pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2}) \frac{\pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_1})}{\sum_{v}\pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v})} \nonumber \\
&=& \pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2}) p(\pmb{x}_{\dashv k, k=v_1}|\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2}) \nonumber \\
\end{eqnarray}
\(p_k\)\(\pi\) 满足细致平衡条件的等式。那么 \(p_k\) 就是我们要构建的概率转移矩阵嘛?答案是否定的。因为完整的细致平衡条件需要各态历经。在概率转移矩阵 \(p_k\) 下, 只有 k 维数据子啊变化,因此一个状态永远不能到达和它第 k-1 维数据不同的状态。

      最终我们构建的概率转移矩阵是 m 个子概率转移矩阵之积
\begin{eqnarray}
p = \prod_{i=k}^{m} p_k
\end{eqnarray}

我们很容易证明 \(p\) 依然满足细致平衡条件中的等式,同时还满足各态历经。根据上述推导,我们得到 Gibbs sampling 的算法过程。

gibbs sampling

4. 总结

      Metropolist-Hasting 和 Gibbs sampling 是有效的 MCMC 算法,能够解决高维空间的采样问题。

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weixin_saomiao

      

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