Metropolis-Hastings 和 Gibbs sampling

      在科学研究中,如何生成服从某个概率分布的样本是一个重要的问题。 如果样本维度很低,只有一两维,我们可以用反切法、拒绝采样和重要性采样等方法。 但是对于高维样本,这些方法就不适用了。这时我们就要使用一些 “高档” 的算法,比如下面要介绍的 Metropolis-Hasting 算法和 Gibbs sampling 算法。

      Metropolis-Hasting 算法和 Gibbs sampling 算法是马尔科夫链蒙特卡洛(Markov Chain Mento Carlo, MCMC)方法。我们先介绍 MCMC 方法。

1. 马尔科夫蒙特卡洛方法

      MCMC 方法是用蒙特卡洛方法去体现马尔科夫链的方法。马尔科夫链是状态空间的转换关系,下一个状态只和当前的状态有关。比如下图就是一个马尔科夫链的示意图。

mc

图中转移关系可以用一个概率转换矩阵 p 表示,

(1)   \begin{eqnarray*} p = \begin{bmatrix} 0 &1  &0 \   0&0.1  &0.9 \  0.6 &0.4  &0  \end{bmatrix} \end{eqnarray*}

如果当前状态分布为 (u(x)), 那么下一个矩阵的状态就是 ( u(x)p ), 再下一个就是(u(x)p^2),… 最后会收敛到一个平稳分布 (\pi)。这个平稳分布 (\pi) 只和概率转移矩阵 p 有关,而和初始状态分布 u 是什么没有关系。

      如何判断一个马尔科夫链是否能收敛到平稳分布,以及如何判断一个状态分布是不是一个马尔科夫链的平稳分布呢?我们有下面定理。

细致平衡条件: 已知各态历经的的马尔科夫链有概率转移矩阵 p,以及已知状态分布 \pi。如果对于任意两个状态 i 和 j,下面公式成立,则马尔科夫链能够收敛到 \pi

(2)   \begin{eqnarray*} \pi(i) p(j|i) = \pi(j) p(i|j) \nonumber   \end{eqnarray*}

这里的各态历经是指任意两个状态之间可以通过有限步到达。

怎么证明细致平衡条件呢?我也不知道啊。

      MCMC 方法的基本原理是利用细致平衡条件构建一个概率转移矩阵,使得目标概率就是概率转移矩阵的平稳分布。 Metropolis-Hasting 和 Gibbs sampling 算法本质上是构建概率转移矩阵的不同方法。

2. Metropolis-Hastings 算法

      Metropolis-Hastings 算法先提出一个可能不符合条件的概率转移矩阵 q, 然后再进行调整。比如我们提出的 q 是均匀概率,即从任意状态到任意状态的概率是相等的。显然在绝大部分情况下,q 的稳定概率不是目标概率 (\pi),即不满足细致平衡条件。

(3)   \begin{eqnarray*} \pi(i) q(j|i) \ne \pi(j)q(i|j) \nonumber  \end{eqnarray*}

如何让这个不等式转变成等式呢?根据对称性,我们容易得到下面的等式。

(4)   \begin{eqnarray*} \pi(i) q(j|i) \pi(j)q(i|j) =  \pi(j)q(i|j) \pi(i)q(j|i)  \end{eqnarray*}

这时整个概率转移矩阵满足细致平衡条件。从 i 状态转到 j 状态的概率是 (q(j|i) \pi(j)q(i|j)),实现这个转移概率的方式是 i 状态以 q(j|i) 概率跳转到 j 状态,然后以 (\pi(j)q(i|j)) 接受跳转 (拒绝跳转就退回 i 状态)。这样整个 Metropolis-Hasting 算法的框架就建立起来了。

      这个原始的 Metropoli-Hasting 算法的有一个小问题。 跳转接受概率 (\pi(j)q(i|j)) 和 (\pi(i)q(j|i)) 的值很小,算法进行过程充斥着跳转拒绝。为了改进这点,Metropoli-Hasting 算法的方法是公式两边同时乘以一个系数,使得 (\pi(j)q(i|j)) 和 (\pi(i)q(j|i)) 中大的一项 scale 到 1,得到下面的公式。

(5)   \begin{eqnarray*} \pi(i) q(j|i) \frac{\pi(j)q(i|j)}{\pi(i)q(j|i)} &=&  \pi(j)q(i|j) \;\; when \;\; \pi(i)q(j|i) > \pi(j)q(i|j) \nonumber \ or\nonumber \\ \pi(i) q(j|i) &=&  \pi(j)q(i|j)\frac{\pi(i)q(j|i)}{\pi(j)q(i|j)} \;\;   when \;\; \pi(i)q(j|i) \le \pi(j)q(i|j) \nonumber \ \end{eqnarray*}

这个公式可以进一步简化为下面的公式

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{eqnarray*}
\pi(i) q(j|i) a(j|i) &=&  \pi(j)q(i|j)  a(i|j) \nonumber \
a(j|i) &=& min{\frac{\pi(j)q(i|j)}{\pi(i)q(j|i)},1} \nonumber \
a(i|j) &=& min{\frac{\pi(i)q(j|i)}{\pi(j)q(i|j)},1} 
\end{eqnarray*}

*** Error message:
Extra alignment tab has been changed to \cr.
leading text: a(j|i) &=&

      根据上面的推导,我们容易得到 Metropolis-Hasting 算法的流程。

metropolist-hasting

3. Gibbs sampling 算法

      Gibbs sampling 算法是 Metropolis-Hasting 算法的一个特例。很鸡贼的一个特例。m 维的一个样本跳转到另一个样本的过程,可以拆解为 m 个子过程,每一个子过程对应一个维度。这时概率转移矩阵是 m 个子概率转移矩阵之积,即 (p = \prod_{i=k}^{m} p_k )

其中 (p_k) 表示第 k 维的变化概率。在 (p_k) 中,两个状态之间只有 k 维不同,其跳转概率如下所示;不然为 0。

(7)   \begin{eqnarray*} p_k(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v_2}|\pmb{x}</em>{\dashv k, k=v_1}) = \frac{\pi(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v_2})}{\sum</em>{v}\pi(\pmb{x}_{\dashv k, k=v})} \nonumber  \end{eqnarray*}

其中 (\pmb{x}_{\dashv k, k=v_2}) 表示样本第 k 维数据为 (v_2),其它维度固定。这时候我们发现如下公式

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{eqnarray*}
&&  \pi(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v_1}) p(\pmb{x}</em>{\dashv k, k=v_2}|\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v_1}) \nonumber \
&=& \pi(\pmb{x}</em>{\dashv k, k=v_1}) \frac{\pi(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v_2})}{\sum</em>{v}\pi(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v})} \nonumber \
&=& \pi(\pmb{x}</em>{\dashv k, k=v_2}) \frac{\pi(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v_1})}{\sum</em>{v}\pi(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v})} \nonumber \
&=& \pi(\pmb{x}</em>{\dashv k, k=v_2}) p(\pmb{x}<em>{\dashv k, k=v_1}|\pmb{x}</em>{\dashv k, k=v_2})  \nonumber \
\end{eqnarray*}

*** Error message:
Extra alignment tab has been changed to \cr.
leading text: &=&

即 (p_k) 和 (\pi) 满足细致平衡条件的等式。那么 (p_k) 就是我们要构建的概率转移矩阵嘛?答案是否定的。因为完整的细致平衡条件需要各态历经。在概率转移矩阵 (p_k) 下, 只有 k 维数据子啊变化,因此一个状态永远不能到达和它第 k-1 维数据不同的状态。

      最终我们构建的概率转移矩阵是 m 个子概率转移矩阵之积

(9)   \begin{eqnarray*} p = \prod_{i=k}^{m} p_k \end{eqnarray*}

我们很容易证明 (p) 依然满足细致平衡条件中的等式,同时还满足各态历经。根据上述推导,我们得到 Gibbs sampling 的算法过程。

gibbs sampling

4. 总结

      Metropolist-Hasting 和 Gibbs sampling 是有效的 MCMC 算法,能够解决高维空间的采样问题。

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weixin_saomiao

      

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