强化学习系列之五:价值函数近似

      目前，我们已经介绍了一些强化学习的算法，但是我们无法在实际问题中运用这些算法。

      为什么呢？因为算法估算价值函数 $v(s)$ 或者 $q(s,a)$ ，保存这些价值函数意味着保存所有状态。而实际问题中，状态的数目非常巨大，遍历一遍的事情就别想了。比如，围棋的状态总数是 $3^{19}$ ，听说比宇宙的总原子数还多，23333。解决这个问题的方法是抽特征。对于一个状态 s, 我们抽取一些特征 $\hat{\pmb{s}}$ ，将这些特征代替状态作为价值函数的输入，即 $v(\hat{\pmb{s}})$ 或者 $q(\hat{\pmb{s}},a)$ 。这种方法我们称之为价值函数近似。价值函数近似解决了海量状态之后，我们才能实用强化学习算法。

1. 价值函数参数化

      我们又要以机器人找金币为场景介绍价值函数近似。机器人从任意一个状态出发寻找金币，找到金币则获得奖励 1，碰到海盗则损失 1。找到金币或者碰到海盗，机器人都停止。衰减因子 $\gamma$ 设为 0.8。

机器人找金币只有 9 个状态，但为了介绍价值函数近似，我们就假装状态非常多。我们以四个方向是否有墙作为状态特征，比如状态 1 的特征为 $\hat{s}=[1,0,0,1]$ , 分别表示北 (东、南、西) 方向有 (没有、没有、有) 墙。状态太多的情况下，模型无关的强化学习算法比较有用。模型无关的强化学习算法的工作对象是 $q(s,a)$ (有状态特征之后为 $q(\hat{s},a)$ ), 因此只有状态的特征是不够的。为此我们设定 $\pmb{f(\hat{s},a)}$ 特征向量一共分为 |A| 部分，分别对应不同的动作。在 $\pmb{f(\hat{s},a)}$ 特征向量, a 动作部分放上 $\hat{s}$ 特征，其他动作部分全部置为 0。比如机器人找金币场景，状态 1 采取向北动作的特征向量 $\pmb{f(1,'n')}$ 如下。
\begin{eqnarray}
\pmb{f(1,'n')} = [\underbrace{1, 0, 0, 1,}_{a='n'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0,}_{a='e'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0,}_{a='s'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0}_{a='w'}]^{T} \nonumber
\end{eqnarray}
搞出特征来了，接下来就用参数计算价值了。我们设定参数向量 $\pmb{w}$ ，然后用特征向量和权重向量的内积估计状态-动作价值。
\begin{eqnarray}
q(\hat{s},a) = \pmb{f(\hat{s},a)}^{T} \pmb{w} \nonumber
\end{eqnarray}

      这时强化学习其实就是学习参数 $\pmb{w}$ 的值，使得参数化的 q 值 $q(\hat{s},a)$ 尽量接近最优策略的 q 值 $q^{*}(s,a)$ ，优化目标如下所示。
\begin{eqnarray}
J(\pmb{w}) = min \sum_{s \in S, a \in A}\{ q(\hat{s},a) - q^{*}(s,a)\}^2 \nonumber
\end{eqnarray}
我们用梯度下降法求解这个优化目标。梯度下降法首先要计算梯度 $\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}$ 。直接求导可得梯度。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}} &=& \sum_{s \in S, a \in A}\{ q(\hat{s},a) - q^{*}(s,a) \}\pmb{f(\hat{s},a)} \nonumber
\end{eqnarray}
但是状态很多，我们不可能真的按照上面的公式计算梯度 (上面的公式得遍历所有的状态)。实际的方法是让系统探索环境，遇到状态特征 $\hat{s}$ 和采取动作 a, 计算梯度然后更新参数。这个类似随机梯度下降。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a} &=& \{ q(\hat{s},a) - q^{*}(s,a) \}\pmb{f(\hat{s},a)} \nonumber \\
\Delta \pmb{w} &=& -\alpha \frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a} \nonumber
\end{eqnarray}

      参数更新的代码如下所示。

#qfunc 是最优策略的 q 值
#alpha 是学习率
def update(policy, f, a, qfunc, alpha):
    pvalue        = policy.qfunc(f, a);
    error         = pvalue - tvalue; 
    fea           = policy.get_fea_vec(f, a);
    policy.theta -= alpha * error * fea; 

2. 强化学习算法

      看了上面，你可以会问。计算 $\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a}$ 需要最优策略的 q 值，那我们上哪里去找这个值呢? 这是就是该强化学习算法上场了。我们回想一下三个模型无关的强化学习算法，都是让系统探索环境，探索时更新状态-动作价值。在更新时，MC Control 认为该样本的预期收益 $g_t$ 为最优策略的 q 值，让状态-动作价值 q(s,a) 尽量接近。SARSA 认为 $r+\gamma q(s,a)$ 为最优策略的 q 值，Q Learning 认为 $r+argmax_{a'}\{\gamma q(s',a')\}$ 。

\begin{eqnarray}
qfunc&=&g_t \quad &MC Control \nonumber \\
qfunc&=&r+\gamma q(\hat{s},a) \quad &SARSA \nonumber \\
qfunc&=&r+max_{a'}\{\gamma q(\hat{s}',a')\} \quad &Q Learning \nonumber
\end{eqnarray}

      有了这些想法，我们只需要简单地改变下强化学习算法的更新部分，就可以引入价值函数近似了。新的更新规则是将算法认为的最优策略的 q 值输入参数更新模块。觉个例子，价值函数近似之后的 Q Learning 算法代码如下所示。

def qlearning(grid, policy, num_iter1, alpha):
    actions = grid.actions;
    gamma   = grid.gamma;
    for i in xrange(len(policy.theta)):
        policy.theta[i] = 0.1

    for iter1 in xrange(num_iter1):
        f = grid.start();   
        #从一个随机非终止状态开始， f 是该状态的特征
        a = actions[int(random.random() * len(actions))]
        t = False
        count = 0

        while False == t and count < 100:
            t,f1,r      = grid.receive(a)
            #t  表示是否进入终止状态
            #f1 是环境接受到动作 a 之后转移到的状态的特征。
            #r  表示奖励

            qmax = -1.0
            for a1 in actions:
                pvalue = policy.qfunc(f1, a1);
                if qmax < pvalue:  qmax = pvalue;
            update(policy, f, a, r + gamma * qmax, alpha);

            f           = f1
            a           = policy.epsilon_greedy(f)
            count      += 1   
    return policy;

3. 做个实验

      我们用机器人找金币做个实验吧。实验中，我们用了两种特征。一种特征是强特征，也就是上述四个方向是否有墙特征。另一种特征是 id 特征，特征向量长度为状态个数，第 i 个状态的特征向量的第 i 位为 1，其他位置为 0。实验对比了三种算法: MC Control, SARSA 和 Q Learning。 $\epsilon-$ 贪婪策略的 $\epsilon$ 设为 0.2， 学习率 $\alpha$ 设为 0.001。和上文一样，算法计算得到的状态(特征)-动作价值和最优策略的状态-动作价值之间的平方差，当做评价指标。实验的结果如下图所示。

      这个实验结果告诉我们的第一件事就是选好特征。墙特征比 id 特征差。状态2 和 4 都是南北方向有墙，墙特征是一样的，会造成混淆。id 特征就没有这个问题。表现在实验结果上，MC Control 和 SARSA 在墙特征上都不停震荡，同时三种算法在墙特征的表现都不如其在 id 特征上的表现。

      Q Learning 一如既往地表现出优越的效果。在墙特征上， Q Learning 不仅没有像 MC Control 和 SARSA 一样震荡，而且效果远远好于它们两者。在 id 特征上， Q Learning 完美拟合了最优策略的状态-动作价值。

4. 总结

      实际问题中，状态的数目非常多，因此基于状态-动作价值的强化学习算法不适用。为了解决这个问题，人们提出了价值函数近似的方法。价值函数近似用特征表示状态或者状态-动作，用参数向量计算价值。价值近似之后，我们才算能把强化学习算法应用在实际问题上。本文代码可以在 Github 上找到，欢迎有兴趣的同学帮我挑挑毛病。强化学习系列的下一篇文章将介绍基于梯度的强化学习。

      文章结尾欢迎关注我的公众号 AlgorithmDog，每周日的更新就会有提醒哦~

      

强化学习系列系列文章

• 强化学习系列之一:马尔科夫决策过程
• 强化学习系列之二:模型相关的强化学习
• 强化学习系列之三:模型无关的策略评价
• 强化学习系列之四:模型无关的策略学习
• 强化学习系列之五:价值函数近似
• 强化学习系列之六:策略梯度
• 强化学习系列之九:Deep Q Network (DQN)