强化学习系列之五:价值函数近似

      目前,我们已经介绍了一些强化学习的算法,但是我们无法在实际问题中运用这些算法。

      为什么呢?因为算法估算价值函数 \(v(s)\) 或者 \(q(s,a)\),保存这些价值函数意味着保存所有状态。而实际问题中,状态的数目非常巨大,遍历一遍的事情就别想了。比如,围棋的状态总数是\(3^{19}\),听说比宇宙的总原子数还多,23333。解决这个问题的方法是抽特征。对于一个状态 s, 我们抽取一些特征 \(\hat{\pmb{s}}\),将这些特征代替状态作为价值函数的输入,即 \(v(\hat{\pmb{s}})\) 或者 \(q(\hat{\pmb{s}},a)\)。这种方法我们称之为价值函数近似。价值函数近似解决了海量状态之后,我们才能实用强化学习算法。

reinforcement learning

1. 价值函数参数化

      我们又要以机器人找金币为场景介绍价值函数近似。机器人从任意一个状态出发寻找金币,找到金币则获得奖励 1,碰到海盗则损失 1。找到金币或者碰到海盗,机器人都停止。衰减因子 \(\gamma\) 设为 0.8。

mdp

机器人找金币只有 9 个状态,但为了介绍价值函数近似,我们就假装状态非常多。我们以四个方向是否有墙作为状态特征,比如状态 1 的特征为 \(\hat{s}=[1,0,0,1]\), 分别表示北 (东、南、西) 方向有 (没有、没有、有) 墙。状态太多的情况下,模型无关的强化学习算法比较有用。模型无关的强化学习算法的工作对象是 \(q(s,a)\) (有状态特征之后为 \(q(\hat{s},a)\)), 因此只有状态的特征是不够的。为此我们设定 \(\pmb{f(\hat{s},a)}\) 特征向量一共分为 |A| 部分,分别对应不同的动作。在 \(\pmb{f(\hat{s},a)}\) 特征向量, a 动作部分放上 \(\hat{s}\) 特征,其他动作部分全部置为 0。比如机器人找金币场景,状态 1 采取向北动作的特征向量 \(\pmb{f(1,'n')}\) 如下。
\begin{eqnarray}
\pmb{f(1,'n')} = [\underbrace{1, 0, 0, 1,}_{a='n'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0,}_{a='e'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0,}_{a='s'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0}_{a='w'}]^{T} \nonumber
\end{eqnarray}
搞出特征来了,接下来就用参数计算价值了。我们设定参数向量\(\pmb{w}\),然后用特征向量和权重向量的内积估计状态-动作价值。
\begin{eqnarray}
q(\hat{s},a) = \pmb{f(\hat{s},a)}^{T} \pmb{w} \nonumber
\end{eqnarray}

      这时强化学习其实就是学习参数 \(\pmb{w}\) 的值,使得参数化的 q 值 \(q(\hat{s},a)\) 尽量接近最优策略的 q 值 \(q^{*}(s,a)\),优化目标如下所示。
\begin{eqnarray}
J(\pmb{w}) = min \sum_{s \in S, a \in A}\{ q(\hat{s},a) - q^{*}(s,a)\}^2 \nonumber
\end{eqnarray}
我们用梯度下降法求解这个优化目标。梯度下降法首先要计算梯度 \(\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}} \)。直接求导可得梯度。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}} &=& \sum_{s \in S, a \in A}\{ q(\hat{s},a) - q^{*}(s,a) \}\pmb{f(\hat{s},a)} \nonumber
\end{eqnarray}
但是状态很多,我们不可能真的按照上面的公式计算梯度 (上面的公式得遍历所有的状态)。实际的方法是让系统探索环境,遇到状态特征 \(\hat{s}\) 和采取动作 a, 计算梯度然后更新参数。这个类似随机梯度下降。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a} &=& \{ q(\hat{s},a) - q^{*}(s,a) \}\pmb{f(\hat{s},a)} \nonumber \\
\Delta \pmb{w} &=& -\alpha \frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a} \nonumber
\end{eqnarray}

      参数更新的代码如下所示。

#qfunc 是最优策略的 q 值
#alpha 是学习率
def update(policy, f, a, qfunc, alpha):
    pvalue        = policy.qfunc(f, a);
    error         = pvalue - tvalue; 
    fea           = policy.get_fea_vec(f, a);
    policy.theta -= alpha * error * fea; 

2. 强化学习算法

      看了上面,你可以会问。计算 \(\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a}\) 需要最优策略的 q 值,那我们上哪里去找这个值呢? 这是就是该强化学习算法上场了。我们回想一下三个模型无关的强化学习算法,都是让系统探索环境,探索时更新状态-动作价值。在更新时,MC Control 认为该样本的预期收益 \(g_t\) 为最优策略的 q 值,让状态-动作价值 q(s,a) 尽量接近。SARSA 认为 \(r+\gamma q(s,a)\) 为最优策略的 q 值,Q Learning 认为 \(r+argmax_{a'}\{\gamma q(s',a')\}\)

\begin{eqnarray}
qfunc&=&g_t \quad &MC Control \nonumber \\
qfunc&=&r+\gamma q(\hat{s},a) \quad &SARSA \nonumber \\
qfunc&=&r+max_{a'}\{\gamma q(\hat{s}',a')\} \quad &Q Learning \nonumber
\end{eqnarray}

      有了这些想法,我们只需要简单地改变下强化学习算法的更新部分,就可以引入价值函数近似了。新的更新规则是将算法认为的最优策略的 q 值输入参数更新模块。觉个例子,价值函数近似之后的 Q Learning 算法代码如下所示。

def qlearning(grid, policy, num_iter1, alpha):
    actions = grid.actions;
    gamma   = grid.gamma;
    for i in xrange(len(policy.theta)):
        policy.theta[i] = 0.1

    for iter1 in xrange(num_iter1):
        f = grid.start();   
        #从一个随机非终止状态开始, f 是该状态的特征
        a = actions[int(random.random() * len(actions))]
        t = False
        count = 0

        while False == t and count < 100:
            t,f1,r      = grid.receive(a)
            #t  表示是否进入终止状态
            #f1 是环境接受到动作 a 之后转移到的状态的特征。
            #r  表示奖励

            qmax = -1.0
            for a1 in actions:
                pvalue = policy.qfunc(f1, a1);
                if qmax < pvalue:  qmax = pvalue;
            update(policy, f, a, r + gamma * qmax, alpha);

            f           = f1
            a           = policy.epsilon_greedy(f)
            count      += 1   
    return policy;

3. 做个实验

      我们用机器人找金币做个实验吧。实验中,我们用了两种特征。一种特征是强特征,也就是上述四个方向是否有墙特征。另一种特征是 id 特征,特征向量长度为状态个数,第 i 个状态的特征向量的第 i 位为 1,其他位置为 0。实验对比了三种算法: MC Control, SARSA 和 Q Learning。\(\epsilon-\)贪婪策略的 \(\epsilon\) 设为 0.2, 学习率\(\alpha\) 设为 0.001。和上文一样,算法计算得到的状态(特征)-动作价值和最优策略的状态-动作价值之间的平方差,当做评价指标。实验的结果如下图所示。

value approximation experiment

      这个实验结果告诉我们的第一件事就是选好特征。墙特征比 id 特征差。状态2 和 4 都是南北方向有墙,墙特征是一样的,会造成混淆。id 特征就没有这个问题。表现在实验结果上,MC Control 和 SARSA 在墙特征上都不停震荡,同时三种算法在墙特征的表现都不如其在 id 特征上的表现。

      Q Learning 一如既往地表现出优越的效果。在墙特征上, Q Learning 不仅没有像 MC Control 和 SARSA 一样震荡,而且效果远远好于它们两者。在 id 特征上, Q Learning 完美拟合了最优策略的状态-动作价值。

4. 总结

      实际问题中,状态的数目非常多,因此基于状态-动作价值的强化学习算法不适用。为了解决这个问题,人们提出了价值函数近似的方法。价值函数近似用特征表示状态或者状态-动作,用参数向量计算价值。价值近似之后,我们才算能把强化学习算法应用在实际问题上。本文代码可以在 Github 上找到,欢迎有兴趣的同学帮我挑挑毛病。强化学习系列的下一篇文章将介绍基于梯度的强化学习。

      文章结尾欢迎关注我的公众号 AlgorithmDog,每周日的更新就会有提醒哦~

weixin_saomiao

      

强化学习系列系列文章

此条目发表在强化学习, 算法荟萃分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

强化学习系列之五:价值函数近似》有 13 条评论

  1. 圈儿说:

    楼主,在五的GitHub中,你的“experiment.py” 没有上传。能上传一下吗?

  2. Pingback引用通告: 强化学习系列之七:在 OpenAI Gym 上实现 QLearning | AlgorithmDog

  3. 小小蚂蚁说:

    我想问问大神您实验的开发环境可以是windows吗?

  4. Lebo说:

    lz有遇到Qlearning某种feature不收敛的情况吗?该如何处理?

  5. LemonMan说:

    你好,围棋的状态总数应该是3的361次方

  6. Elitack说:

    想说下代码部分update函数应该是这样子吧:
    def update(policy, f, a, tvalue, alpha):
    pvalue = policy.qfunc(f, a);
    error = pvalue - tvalue;
    fea = policy.get_fea_vec(f, a);
    policy.theta -= alpha * error * fea;

    其中tvalue 应该是最优策略

    然后想说的是github中好像文件grid_map不见了,希望可以补充一下~

  7. 匿名说:

    说实话,开始写的不错。到后面越来越烂。第8讲OpenAI gym上的程序根本就是错的,糊弄谁啊?就是采用随机行动都比你那个程序强。每个step()的reward都是1,其中一个行动的Q值一直增大,于是你那个程序就一直选择同一个行动。。。。

  8. 匿名说:

    你好,我运行了你的程序,发现$/theta$值在0.01时能够获得较好的曲线,能不能介绍一下调参的过程是怎么进行的?

发表评论

电子邮件地址不会被公开。