强化学习系列之六:策略梯度

      上一篇文章介绍价值函数近似，用模型拟合价值函数。这篇文章我们介绍梯度策略，用模型直接拟合策略。

      

1. 策略参数化

      强化学习有两种场景。一种是离散的强化学习场景。在这种场景下，我们从状态抽取状态特征向量 $\hat{s}$ 。和价值函数近似，我们让 $\pmb{f(\hat{s},a)}$ 特征向量一共有 |A| 部分，分别对应不同的动作。在 $\pmb{f(\hat{s},a)}$ 特征向量, a 动作对应位置放 $\hat{s}$ 特征，其他动作对应位置为 0。设定参数 $\pmb{w}$ 。
\begin{eqnarray}
\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a) = \frac{exp(\pmb{f(\hat{s},a)}^{T} \pmb{w})}{\sum_{a' \in A}exp(\pmb{f(\hat{s},a')}^{T} \pmb{w})} \nonumber
\end{eqnarray}
其中 $\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a)$ 表示遇到状态特征 $\hat{s}$ 采取动作 a 的概率。策略用了著名的 Softmax 函数，因此也被称为 softmax 策略。容易求得 Softmax 函数对数的梯度。
\begin{eqnarray}
\bigtriangledown_{\pmb{w}}log\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a) = \pmb{f(\hat{s},a)} - \sum_{a' \in A}\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a')\pmb{f(\hat{s},a')} \nonumber
\end{eqnarray}

      另一种是连续的强化学习场景。在连续强化学习场景下，我们也是从状态抽取状态特征向量 $\hat{s}$ ，然后设定一个参数向量 $\pmb{w}$ ，然后用特征和参数计算不同动作的概率。

\begin{eqnarray}
\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(a-\pmb{\hat{s}}^{T} \pmb{w})^2}{2}) \nonumber
\end{eqnarray}
其中动作 a 是一个实数值。策略用了标准差为 1 的高斯分布，因此该策略被称为高斯策略。容易求得高斯策略的对数梯度。

\begin{eqnarray}
\bigtriangledown_{\pmb{w}}log\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a) = (a - \pmb{\hat{s}}^{T} \pmb{w}) \pmb{\hat{s}}\nonumber
\end{eqnarray}

      强化学习就是学习参数 $\pmb{w}$ 的值。那么我们按什么样的目标学习参数 $\pmb{w}$ 呢? 我们有如下三种目标。其中第一个目标适用于每次从一个开始状态出发的强化学习，另外两种目标适用于其他场景。

\begin{eqnarray}
J_1(\pmb{w}) &=& V^{\pi_{\pmb{w}}}(s1) = E_{\pi_{\pmb{w}}}[v1] \nonumber \\
J_{avV}(\pmb{w}) &=& \sum_{s} d^{\pi_{\pmb{w}}}(s) V^{\pi_{\pmb{w}}}(s) \nonumber \\
J_{avR}(\pmb{w}) &=& \sum_{s} d^{\pi_{\pmb{w}}}(s) \sum_{a} \pi_{\pmb{w}}(s,a) R_{s,a} \nonumber
\end{eqnarray}

其中 $d^{\pi_{\pmb{w}}}$ 是策略 $\pi_{\pmb{w}}$ 稳定概率。虽然我们有三种目标函数，但是下面的策略梯度定理揭示这些目标函数的梯度是一致。只要我们求得梯度，就可以应用梯度下降相关算法了。

      

根据策略梯度定理，我们只要计算出 $\bigtriangledown_{\pmb{w}}log\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a)$ 和价值 $q(\hat{s},a)$ ，就可以求解策略梯度优化问题了。Softmax 和高斯策略的 $\bigtriangledown_{\pmb{w}}log\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a)$ 计算公式在上面已经介绍了。Softmax 策略的更新代码。

//policy 待更新的策略
//f      状态特征
//a      动作
//qvalue q值
//alpha  学习率
def update_softmaxpolicy(policy, f, a, qvalue, alpha):

    fea  = policy.get_fea_vec(f,a);
    prob = policy.pi(f);
    
    delte_logJ = fea;
    for i in xrange(len(policy.actions)):
        a1          = policy.actions[i];
        fea1        = policy.get_fea_vec(f,a1);
        delta_logJ -= fea1 * prob[i];

    policy.theta -= alpha * delta_logJ * qvalue; 

2. 策略梯度算法

      为了求解策略梯度优化问题，我们需要计算 $\bigtriangledown_{\pmb{w}}log\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a)$ 和价值 $q(\hat{s},a)$ 。按照上述内容，我们能够求得 $\bigtriangledown_{\pmb{w}}log\pi_{\pmb{w}}(\hat{s},a)$ ，那怎么求解价值 $q(\hat{s},a)$ 呢？

2.1 MC Policy Gradient

      蒙特卡罗策略梯度适用于插曲式的强化学习场景。插曲式强化学习场景中，系统会从一个固定或者随机起始状态出发，经过一定的过程之后，进入一个终止状态。比如，机器人找金币例子就是插曲式强化学习场景。蒙特卡罗策略梯度让系统探索环境，生成一个从起始状态到终止状态的状态-动作-奖励序列。

\begin{eqnarray}
s_1,a_1,r_1,.....,s_T,a_T,r_T
\end{eqnarray}

在第 t 时刻，我们让 $g_t = r_t+\gamma r_{t+1}+...$ 等于 $q(s_t,a)$ ，从而求解策略梯度优化问题。蒙特卡罗策略梯度代码如下。

def mc(grid, policy, num_iter1, alpha):
    actions = grid.actions;
    gamma   = grid.gamma;
    for i in xrange(len(policy.theta)):
        policy.theta[i] = 0.1

    for iter1 in xrange(num_iter1):

        f_sample = []
        a_sample = []
        r_sample = []   
        
        f = grid.start()
        t = False
        count = 0
        while False == t and count < 100:
            a = policy.take_action(f)
            t, f1, r  = grid.receive(a)
            f_sample.append(f)
            r_sample.append(r)
            a_sample.append(a)
            f = f1            
            count += 1


        g = 0.0
        for i in xrange(len(f_sample)-1, -1, -1):
            g *= gamma
            g += r_sample[i];
        
        for i in xrange(len(f_sample)):
            update(policy, f_sample[i], a_sample[i], g, alpha)

            g -= r_sample[i];
            g /= gamma;
        

    return policy

2.2 Actor-Critic

      价值函数近似的强化学习算法用于估计状态-动作价值 q(s,a)。策略梯度算法引入价值函数近似提供价值是一个很好的思路。这时候，算法分为两个部分：Actor 和 Critic。Actor 更新策略， Critic 更新价值。Critic 就可以用之前介绍的 SARSA 或者 QLearning 算法。下面是 SARSA 算法代码示例。

def sarsa(grid, policy, value, num_iter1, alpha):
    actions = grid.actions;
    gamma   = grid.gamma;
    for i in xrange(len(policy.theta)):
        value.theta[i]  = 0.1
        policy.theta[i] = 0.0;

    for iter1 in xrange(num_iter1):
        f = grid.start();
        a = actions[int(random.random() * len(actions))]
        t = False
        count = 0

        while False == t and count < 100:
            t,f1,r      = grid.receive(a)
            a1          = policy.take_action(f1)
            update_value(value, f, a, \
                         r + gamma * value.qfunc(f1, a1), alpha);
            update_policy(policy, f, a, value.qfunc(f,a), alpha);

            f           = f1
            a           = a1
            count      += 1

    return policy;

3. 为什么要有策略梯度

      策略梯度的第一个优势是其能够处理连续场景。价值函数近似就不适用了连续的强化学习场景。因为 $A$ 是一个无限集合的情况下，我们无法计算 $argmax_{a \in A}q(s,a)$ 了。但如果我们使用的是策略梯度， $\pi(s)$ 输出实数值。当然这一部分可以通过改进价值函数形式的方式解决。

      策略梯度的另一好处是概率化输出。在预测时，价值函数近似应用了贪婪策略或者 $\epsilon-$ 贪婪策略，选择价值最大的方向。有时候这可能会导致问题。还是拿机器人找金币做例子（如下图所示），状态特征是北（东，南，西）方向是否面对墙。状态 2 和 状态 4 的状态特征一样，贪婪策略或者 $\epsilon-$ 贪婪策略采取相同动作。如果动作是向右，则状态 4 之后会陷入 4 和 5 之间的循环。如果动作是向左，则状态 2 之后会陷入 1 和 2 之间的循环。但是如果我们采用策略梯度，在状态 2 和状态 4，学习到的策略输出向右和向左动作的概率都是 0.5，从而不会陷入循环。

4. 总结

      本文介绍了梯度策略相关知识。本文代码可以在 Github 上找到，欢迎有兴趣的同学帮我挑挑毛病。

      最后欢迎关注我的公众号 AlgorithmDog，每周日的更新就会有提醒哦~

      

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